Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri 2019

Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri 2019 Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur? Düzlem denklemlerinin çeşitleri

Uzayda, uçak farklı verilebiliryollar (bir nokta ve bir vektör, iki nokta ve bir vektör, üç nokta vs.). Bu düşünceyle, düzlemin denkleminin farklı türleri olabilir. Ayrıca, bazı koşullar karşılanırsa, uçaklar paralel, dikey, kesişen vb. Olabilir. Bu konuda ve bu yazıda konuşmak. Sadece düzlemde değil genel bir denklemin nasıl yapılacağını öğreneceğiz.

Denklemin normal şekli

Bir boşluk olduğunu varsayalım3, ki bunlar XYZ dikdörtgen koordinat sistemine sahiptir. Başlangıçtaki O noktasından çıkacak olan vektörü tanımlayın. Vektör vektörünün sonuna doğru, ona dik olacak olan düzlemi Π çizin.

düzlem denklemi

Π tarafından keyfi bir nokta Q = (x, y, z) ile gösterilir. Q noktasının yarıçap vektörünü p harfi ile imzalayacağız. Bu durumda, vektörün uzunluğu p = IαI ve Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ) 'e eşittir.

Bu, bir birim vektör, gönderiliryan vektör vektörünün yanı sıra. α, β ve γ, sırasıyla x, y, z uzayının eksenlerinin pozitif yönleri ve vektörü Ʋ arasında oluşan açılardır. Bazı noktanın QεP vektöre Ʋ üzerine çıkması p'ye eşit olan bir sabittir: (p, Ʋ) = p (p≥0).

Bu denklem, p = 0 olduğunda mantıklıdır. Bu durumda tek düzlem koordinatların kaynağı olan O noktasını (α = 0) kesiştirecek ve O noktasından çıkarılan birim vektör Å yönüne rağmen Π'ye dik olacak; bu vektör Ʋ şu şekilde tanımlanmıştır: işaretin doğruluğunu. Önceki denklem, vektör formunda ifade edilen uçağımızın II denklemidir. Ancak onun görünümünün koordinatlarında şöyle:

paralel düzlem denklemi

P, 0'dan büyük veya eşittir. Bir düzlemin denklemini uzaydan normal formda bulduk.

Genel denklem

Koordinatlarda denklem, sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayı ile çarpılırsa, aynı düzlemi belirleyen belirli bir eşdeğer bir denklik elde ederiz. Şöyle görünecektir:

düzlemin genel denklemi

Burada A, B, C aynı anda sıfır olmayan rakamlardır. Bu denklem, genel formdaki bir düzlemin denklemi olarak adlandırılır.

Uçakların denklemleri. Özel durumlar

Genel formdaki denklem, ek koşullar varlığında değiştirilebilir. Bazılarını düşünelim.

A katsayısının 0 olduğunu varsayalım. Bu verilen düzlemin verilen eksene paralel olduğu anlamına gelir. Bu durumda, denklemin biçimi değişecek: Boo + Cz + D = 0.

Benzer şekilde, denklemin formu aşağıdaki koşullar altında değişecektir:

  • Birincisi, B = 0 ise, denklik Ax = + Cz + D = 0 olarak değişir ve bu da Oy eksenine paralellik kanıtı olacaktır.
  • İkincisi, C = 0 ise, denklem Ax + Boo + D = 0'a dönüştürülür ve verilen özün Oz ile paralellik söz konusudur.
  • Üçüncü olarak, D = 0 ise, denklem, Ax + Boo + Cz = 0 gibi görünecektir; bu, düzlemin O'yu (kökeni) kestiği anlamına gelir.
  • Dördüncüsü, eğer A = B = 0 ise denklem Oxy'ye paralel olacak şekilde Cz + D = 0 olarak değişecektir.
  • Beşinci olarak, eğer B = C = 0 ise, denklem Ax + D = 0 olur; bu da Oyz'a olan düzlemin paralel olduğu anlamına gelir.
  • Altıncı, A = C = 0 ise, denklem Boo + D = 0 biçimini alacaktır, yani Oxz'a paralel olarak rapor verecektir.

Denklemlerin kesitlerdeki türü

A, B, C, D sayıları sıfırdan farklı olduğunda, denklem (0) formunun aşağıdaki gibi olabileceği:

x / a + y / b + z / c = 1,

ki burada a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C

Sonuç olarak, bölümlerdeki düzlemin denklemini elde ederiz. (0, b, 0), Oz - - (0,0, s) düzlem koordinatları (a, 0,0), Oy ile noktasında x eksenini kesişecek unutulmamalıdır.

Uzayda düzlem denklemi

X / a + y / b + z / c = 1 denklemini dikkate alarak, belirli bir koordinat sistemine göre düzlemin görsel olarak görselleştirilmesini zor değildir.

Normal vektörün koordinatları

Düzlem Π'ye normal vektör n, verilen düzlemin genel denkleminin katsayıları, yani n (A, B, C) olan koordinatlara sahiptir.

uçak denklemini yazabilme

Normal n koordinatlarını belirlemek için verilen düzlemin genel denklemini bilmek yeterlidir.

Bir denklemi segmentlerde kullanırkenGenel denklemde olduğu gibi, x / a + y / b + z / c = 1 formuna sahiptir, verilen düzlemdeki herhangi bir normal vektörün koordinatlarını yazabiliriz: (1 / a + 1 / b + 1 / s).

Normal bir vektörün yardımcı olduğunu belirtmekte fayda var.çeşitli görevleri çözebilir. En sık karşılaşılan problemler arasında, düzlemlerin düşey veya paralelliğini kanıtlama problemi, düzlemler ve hatlar arasındaki düzlemler veya açılar arasındaki açıları bulma problemi sayılabilir.

Düzlemin denkleminin, noktasının ve normal vektörün koordinatlarına göre formu

Belirli bir düzleme dik olan sıfır dışı bir vektöra, belirli bir düzlem için normal (normal) denir.

Koordine uzayda (dikdörtgen koordinat sistemi) Oxyz verildiğini varsayalım:

  • Koordinatlarla Mₒ noktası (xₒ, yₒ, zₒ);
  • sıfır vektörü n = A * i + B * j + C * k'dir.

noktadan geçen düzlemin denklemi

Normal n'ye dik olan Mₒ noktasından geçecek olan düzlem denklemini oluşturmak gereklidir.

Uzayda herhangi bir rastgele noktayı seçiyoruzM (xy, z) ile gösteririz. olacak her bir nokta M (x, y, z) yarıçapı vektörü olsun R * i y * j + z * k ve nokta Mₒ yarıçapı vektörü (uₒ, hₒ, zₒ) + X = - rₒ = hₒ * I uₒ + * j + zₒ * k. Vektör MₒM vektör n'ye dik ise M noktası verilen düzleme ait olacaktır. Skaler ürün aracılığıyla ortogonalite koşulunu yazalım:

[MİM, n] = 0.

MₒM = r-rₒ olduğundan, düzlemin vektör denklemi şöyle görünecektir:

[r - rₒ, n] = 0.

Bu denklemin başka bir formu olabilir. Bunu yapmak için skaler ürünün özelliklerini kullanırız ve denklemin sol tarafı dönüştürülür. [r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. [Rₒ n] s olarak gösterilen durumunda, aşağıdaki denklem elde edilir: [R, N] - a = 0, ya da uçak ait verilen puan yarıçapı-vektörleri normal vektör üzerindeki çıkıntıların süreklilik ifade [r n] = s.

Şimdi, düzlemimizin vektör denkleminin kayıtlarının koordinat formunu elde edebiliriz [r - rₒ, n] = 0. R = rₒ = (x-xₒ) * i + (y-yₒ) * j + (z-zₒ) * k, ve n = A * i + B * j + C * k, elimizde:

noktadan geçen düzlemin denklemi

Normal n'ye dik bir noktadan geçen bir düzlemin denklemine sahip olduğumuz ortaya çıkar:

A * (x - xₒ) + B * (y - yₒ) C * (z-zₒ) = 0.

İki nokta ve bir vektörün koordinatlarına göre düzlem denkleminin şekli, kolinear düzlem

M '(x', y ', z') ve M "(x", y ", z") olmak üzere iki rastgele noktayı ve ayrıca a (a ', a ", a) vektörünü tanımlarız.

Şimdi denklem önceden belirlenmiş mevcut noktası M 've M" geçer düzlemi ve belirli bir vektöre koordinatlar M (x, y, z) paralel her bir noktayı yazabilir.

Böylece M'M vektörleri, x = {x, y-y '; ZZ'} ve M, "M = {x", -x, y, 'y' z "-z '} vektör ile eş düzlemli olmalıdır a = (a ', a ", a), ve bu demektir ki (M'M, M" M, a) = 0.

Yani, uzayda bir düzlem denklemimiz şöyle görünecektir:

düzlemin denklemini yazabilme

Üç noktayı kesişen bir düzlem denkleminin formu

Diyelim ki üç noktamız var: (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴) aynı satıra ait değildir. Verilen üç noktadan geçen düzlemin denklemini yazmak gerekir. Geometri teorisi, böyle bir düzlemin gerçekten var olduğunu iddia eder, ancak sadece bu eşsiz ve tekrarlanamazdır. Bu düzlem noktayı (x ', y', z ') kesiştiğinden, denkleminin şekli aşağıdaki gibi olacaktır:

düzlem denklemi

Burada A, B, C'nin ikisi de sıfır değil. Ayrıca, verilen düzlem iki nokta daha kesişir: (x ", y", z ") ve (x ‴, y ‴, z ‴). Bu bağlamda, bu koşullar yerine getirilmelidir:

düzlem denklemi

Şimdi, u, v, w unknowns ile homojen bir denklem sistemi (doğrusal) oluşturabiliriz:

üç noktadan düzlem denklemi

Bizim durumumuzda, x, y veya z keyfidenklemi karşılayan bir nokta (1). Denklem (1) ve denklemler (2) ve (3) 'den gelen sistem dikkate alınarak, yukarıdaki şekilde belirtilen denklem sistemi, nontrivial olan N (A, B, C) vektörünü karşılar. Bu sistemin belirleyicisi bu yüzden sıfırdır.

3 noktadan düzlem denklemi

Elde ettiğimiz Denklem (1)düzlemin denklemidir. 3 puan sonra, kesinlikle geçer ve kontrol etmek kolaydır. Bunu yapmak için, belirleyicimizi ilk satırdaki öğelerle genişletmeliyiz. Belirleyicinin mevcut özelliklerinden, düzlemimizin aynı anda ilk üç nokta (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴) ile kesiştiğini izler. Yani, bizden önce görev setini çözdük.

Uçaklar arasındaki iki taraflı açı

İki köşeli açıDüz bir çizgiden yayılan iki yarım düzlem tarafından oluşturulan üç boyutlu geometrik şekil. Başka bir deyişle, bu yarım düzlemlerle sınırlı olan alanın bir parçasıdır.

Aşağıdaki denklemlere sahip iki planımız olduğunu varsayalım:

Teğet düzlemi denklemi

N = (A, B, C) vektörlerinin veN¹ = (А¹, В¹, С¹) verilen düzlemlere göre diktir. Bu bağlamda, N ve N¹ vektörleri arasındaki açı these, bu düzlemler arasında uzanan açıya (iki taraflı) eşittir. Skaler ürün şu şekildedir:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

tam olarak çünkü

cosj = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (a² + s² + V²)) * (√ (¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

denklemini çizmek

Bu 0≤φ≤π dikkate almak için yeterlidir.

Aslında, kesişen iki düzlem iki açı (iki taraflı) oluşturur: φ1ve φ2. Toplamları π (φ)1+ φ2= π). Onların kosinüslerine gelince, onların mutlak değerleri eşittir, ama işaretlere göre farklılık gösterirler, çünkü φ1= -cos φ2. Eğer A, B ve C harflerini sırasıyla denklem (0) 'da -A, -B ve -C sayılarıyla değiştirirsek, o zaman elde ettiğimiz denklem bu aynı düzlemi, tek denklemi equ denklemindeki φ = NN1/ | N || N1| π-φ ile değiştirilecektir.

Dik düzlemin denklemi

Dik düzlemler arasındaki düzlemlerhangi açı 90 derece. Yukarıda belirtilen malzemeyi kullanarak, diğerine dik olan bir düzlem denklemini bulabiliriz. İki düzlemimiz olduğunu varsayalım: Ax + Boo + Cz + D = 0 ve A¹x + Bуy + Czz + D = 0. Eğer cosφ = 0 ise dik olacaklarını söyleyebiliriz. Bu, NN¹ = AA + + BB¹ + CC¹ = 0 anlamına gelir.

Paralel bir düzlemin denklemi

Paralel, ortak noktaları içermeyen iki düzlemdir.

Düzlemlerin paralellik koşulu (denklemleri)Bir önceki paragraftaki ile aynıdır), kendilerine dik olan N ve Ns vektörlerinin ortak olduğu yönündedir. Ve bu, aşağıdaki orantılılık koşullarının yerine getirildiği anlamına gelir:

A / A¹ = B / B¹ = C / C3.

Eğer orantılılık koşulları uzarsa - A / A¹ = B / B¹ = C / C¹ = DD¹,

Aynı veri düzlemi belirtir. Bu + D¹ = 0, bir düzlemi tarif eder + Cz + D = 0 ile + A¹h V¹u S¹z tarafından bu denklem Ax + anlamına gelir.

Noktadan uçağa mesafe

Varsa, bir düzlemimiz var.denklemle (0). Önceden, koordinatlarla (xₒ, yₒ, zₒ) = Qₒ arasındaki mesafeyi bulmak gerekir. Bunu yapmak için, düzlemin equ denklemini normal forma indirmemiz gerekir:

(ρ, v) = p (p0).

Bu durumda, ρ (x, y, z)II, p noktasında bulunan Q noktamızın yarıçapı vektörü, sıfır noktasından serbest bırakılan dikey P'nin uzunluğudur, v, a'nın yönünde yer alan birim vektördür.

uçağın denklemini bulmak

Q = (x, y, z) 'ye ait herhangi bir noktanın yarıçap vektörünün ρ-ρο değeri ve aynı zamanda verilen Q noktasının yarıçap vektörü0= (xₒ, yₒ, zₒ) v üzerinde mutlak izdüşümü Q'dan bulunacak mesafe d'ye eşit olan bir vektördür.0= (xₒ, yₒ, zₒ) 'ye:

D = | (ρ-ρ0, v) |, ama

(Ρ-ρ0, v) = (ρ, v) - (ρ0, v) = p- (ρ0v).

Yani ortaya çıkıyor,

d = | (ρ0, v) - p |.

Şimdi Q'dan d mesafesini hesaplıyor.0düzlem P, bu denklem düzleminin normal formu, p sola kayma, ve x, y son yer, Z yerine kullanmak gereklidir (hₒ, uₒ, zₒ).

Böylece, ortaya çıkan ifadenin mutlak değerini, yani istenen d'yi buluruz.

Parametre dilini kullanarak, belirgin olanı elde ederiz:

d = | Axₒ + Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + B² + C²).

Eğer verilen nokta Q ise0P düzleminin diğer tarafında, orijin gibi, sonra ρ-ρ vektörünün arasında bulunur.0ve v geniş bir açıdır, dolayısıyla:

d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) -p> 0.

Q noktası olduğunda0koordinatların orijini ile birlikte II'nin aynı tarafında bulunur, o zaman yaratılan açı keskin olur, yani:

d = (ρ-ρ0, v) = p - (ρ0, v)> 0.

Sonuç olarak, ilk durumda (ρ) ortaya çıkıyor.0, v)> p, ikinci (ρ)0, v) <p.

Teğet düzlemi ve denklemi

Yüzeysel olarak M0 teğet noktasındaki tanjant düzlemi, yüzeydeki bu noktadan çizilen eğrilere olası tüm teğetleri içeren düzlemdir.

teğet düzlemi teğet noktası Mº denklemindeki denklemi, F (x, y, z) = 0 (uº, hº, zº) olacaktır, bu yüzey ile:

Fx(x °, y °, z °) (x - x °) + Fx(x °, y °, z °) (y - y °) + Fx(x0, y0, z0) (z-z0) = 0.

Yüzeyi z = f (x, y) açık biçiminde ayarlarsak, teğet düzlem denklemle açıklanacaktır:

z - z0 = f (x0, y0) (x - x0) + f (x0, y0) (y - y0).

İki düzlemin kesişimi

Üç boyutlu uzayda sistem bulunurKoordinatlar (dikdörtgen) Oxyz, kesişen ve uyuşmayan iki düzlem П 've П "verilmiştir. Genel denklemle tanımlanan bir dikdörtgen koordinat sistemi içinde herhangi bir düzleme, bu yana, N + B x '+ y ' ", A = 0 ve n denklem A'x + V'u S'z + D ile tanımlanır'" varsayalım "Z + D" = 0 ile. Bu durumda, düzlem II 'nin normal n' (A ', B', C ') ve düzlem II'nin normal n "(A", B ", C")' sine sahibiz. Uçaklarımız paralel olmadığından ve uyuşmadığından, bu vektörler ortak değildir. n '≠ n "↔ (A', B 'C') ≠ (λ * Ve", λ * In "λ * C"), λεR: matematik dilini kullanarak, bu durum olarak yazılabilir var. П 've П "kesişme çizgisinde bulunan çizginin a, a = П' ∩ П" ile belirtilmesine izin verin.

a, tüm noktaların kümesinden oluşan bir çizgidir(ortak) uçaklar II 've II ". Bu hat a ait herhangi bir noktasının koordinatları eş zamanlı denklem A'x + V'u S'z +, D '= 0 ve A ", x + B' + C y" z + D "= 0 karşılamak zorunda olduğu anlamına gelir. Bu noktanın koordinatları, aşağıdaki denklem, belirli bir çözeltisi olacağı anlamına gelir:

denklemini çizmek

Sonuç olarak, bunun çözümü (genel) ortaya çıkıyor.denklem sistemi, P 've P'nin kesişme noktası olarak hareket edecek düz çizginin her bir noktasının koordinatlarını belirleyecek ve uzayda koordinat sistemi Oxyz (dikdörtgensel) içinde düz çizgiyi a belirleyecektir.

Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri 2019

Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri 2019

Related news

  • Dövme yüzyıl: minnettar kadınların incelemeleri
  • Ayva Reçeli (Rende)
  • Bryusovun Yaratıcılık şiirinin ayrıntılı analizi
  • İlaç Metiluratsil: kullanım talimatı
  • Tava Böreği Videosu

  • Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri


    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri

    Düzlem denklemi: nasıl oluşturulur Düzlem denklemlerinin çeşitleri